Pensament i acció
La recepció de la matemàtica grega. La dimensió escolar d'Els Elements d'Euclides
01-12-2008
Autor
Pedro Miguel González Urbaneja
Publicat a:
Escola Catalana. El món clàssic. Número 455
Els Elements d’Euclides és un corpus geomètric, escrit en el Museu d’Alexandria cap a l’any 300 aC, que compila de forma enciclopèdica la matemàtica grega elemental. L’obra es compon de tretze llibres, organitzats en 465 proposicions, 23 definicions, cinc postulats i cinc axiomes.
Els llibres I, II, III i IV estudien les propietats bàsiques de figures rectilínies i circulars. El V exposa la teoria de la proporció, que resol de forma brillant la crisi dels incommensurables. El VI aplica aquesta teoria a l'estudi de les figures semblants. Els llibres VII, VIII i IX tracten de les propietats dels nombres sencers i la divisibilitat. El X introdueix el mètode d’exhaució i classifica els incommensurables (1). Els llibres XI i XII estudien la geometria de sòlids aplicant el mètode d’exhaució al càlcul d’àrees i volums. Finalment, el llibre XIII està dedicat als cinc políedres regulars, anomenats platònics.
En Els Elements, Euclides utilitza un estil axiomàtic-deductiu d’exposició, a base d’ordenar en una seqüència jeràrquica lògica els resultats matemàtics anteriors (en particular els de Tales, Pitàgores, Hipòcrates de Quios, Demòcrit, Eudox, Teeteto i d’altres geòmetres platònics), plasmant en un cos de doctrina geomètrica la forma definitiva que havia d’estructurar la matemàtica grega després de la solució que va donar l’Acadèmia platònica a la tremenda crisi de fonaments que produí l’aparició de les magnituds incommensurables. (1) L’estil sintètic d’Euclides s’imposarà, a partir d’aleshores, en els més importants tractats de la matemàtica grega, en particular en l’extensa i intensa obra d’Arquímedes.
Els Elements d’Euclides és l’obra matemàtica més famosa de la història. D’ús escolar permanent, estudiada, analitzada i comentada, generació rere generació, no només ha estat la primera obra matemàtica grega rellevant que ha sobreviscut, sinó també la que ha exercit una major influència en tota època, ja que ha constituït la font principal del coneixement matemàtic, el cos de doctrina central de les ciències matemàtiques, del qual es pot derivar la resta, el principal vehicle de transmissió del saber matemàtic elemental, el punt de partida de gairebé totes les investigacions matemàtiques fins com a mínim el segle XVII.
Com a magnífic tresor matemàtic de la humanitat des de fa més de vint-i-tres segles, Els Elements d’Euclides és el text que més cops s’ha editat, després de la Bíblia (2): s'estima que més d’un miler de versions al llarg dels segles. Va ser, així mateix, un dels primers llibres matemàtics que es va imprimir.
El grandiós conjunt d’Els Elements d’Euclides és una de les veus més importants del llegat hel·lènic, una sublim manifestació d'humanitat, cultura i civilització. Deia Lincoln: «He après a pensar amb lògica llegint Els Elements d’Euclides (3). I Einstein: «Si Euclides no és capaç d’encendre el teu entusiasme juvenil, aleshores no has nascut per a ser un pensador científic» (4). Russell va escriure: «La lectura d’Euclides als onze anys va ser un dels grans esdeveniments de la meva vida, tan enlluernadora com el primer amor» (5). I en un anònim Tractat de Geometria del segle XVIII podem llegir: «La lectura d’Euclides no només fa geòmetres els joves, sinó que els habitua a ser excel·lents lògics».
Els Elements d’Euclides van establir un model de demostració sistemàtica de resultats geomètrics d’influència secular sobre la Matemàtica. Però més enllà d’aquesta ciència, l'obra euclidiana ha tingut un profund impacte sobre el pensament científic, ja que el seu estil es va imposar de forma normativa com a model ideal de mètode d'exposició hipotètic-deductiu per a autors com Arquímedes en l'àmbit de l'Estàtica i la Hidrostàtica, Ptolomeu en l'Astronomia, Galè en la Medicina i Galileu i Newton en la Física, però també en altres disciplines –diguem-ne humanístiques–, com en l'Ètica de Spinoza o en la Filosofia política de Hobbes, on es reflecteix la preocupació pel desig de certesa davant les evidents debilitats del raonament purament persuasiu de la Retòrica o la Dialèctica. Així doncs, la repercussió cultural de l’anomenat estil euclidià d'exposició traspassa els límits de la Matemàtica i de l'espai temporal del món hel·lenístic.
La transmissió d’Els Elements d’Euclides. Versions més significatives
Sintetitzant molt, podem trobar vuit estadis en la transmissió d’Els Elements d’Euclides. En el primer, Teó d’Alexandria (s. IV) normalitza el text grec del qual procedeix la tradició central de les diverses versions (6). El segon correspon a les traduccions àrabs que comencen el segle IX. El tercer el marquen les traduccions llatines de les versions àrabs (s. XII). El quart estadi consisteix en la impressió de les versions i exposicions en llatí a la fi del segle XV. La primera la realitza E. Ratdolt (Venècia, 1482), i conté la primera impressió de figures geomètriques en un llibre matemàtic.
En el cinquè estadi, s’imprimeixen les traduccions llatines realitzades a partir del grec, entre les quals la de Zamberti (1505) i Luca Pacioli (Venècia, 1509). En el sisè estadi es fixa el text grec en la editio princeps (S. Grynaeus el vell, Basilea, 1533). Alhora que s’editaven Els Elements, una vegada i una altra, en grec i en llatí, el setè estadi el constitueixen, des de mitjan segle XVI, les primeres edicions en les llengües vernacles: l’italià (Tartaglia, Venècia, 1543), l’alemany (Scheubel, Augsburg, 1555), el francès (Forcadel, París, 1565), l’anglès (Billingsley, Londres, 1570) i l’espanyol (Çamorano, Sevilla, 1576). El vuitè i darrer estadi és l’edició crítica, Euclidis Opera Omnia (Toms I-IV. Leipzig, 1883-86) de J. L. Heiberg, la més fidedigna i que, com a cim de la ciència filològica, fixa definitivament els textos grec i llatí.
En l'actualitat, la font més completa i la referència principal sobre Els Elements, considerada com la traducció estàndard a partir del text de Heiberg, és la monumental obra de Heath, Euclid, the thirteen books of The Elements (Cambridge, 1909), reeditada per Dover (Nova York, 1956).
En llengua castellana, una de les versions més útils d’Els Elements d’Euclides és l'edició crítica de M. L. Portes (Gredos, Madrid, 1996). També és digna d'esment l'edició de F. Vera que forma part de la seva enciclopèdica obra Científicos griegos (Aguilar, Madrid, 1970, pàgs 689-980) (7).
L’escolarització d’Els Elements d’Euclides
Des del seu origen, Els Elements d’Euclides són la font de multitud de manuals amb funcions didàctiques i acadèmiques. En la tradició escolar de la universitat medieval ocupava un lloc preeminent l’ensenyament dels sis primers llibres que componien la part d’Aritmètica i Geometria del Quadrivium pitagórico, base principal del currículum de l’edat mitjana.
Moltes versions d’Els Elements d’Euclides, sobretot les escrites en llengües vernacles, apareixen en el marc renaixentista de la recuperació i divulgació del llegat clàssic, animades per motius pràctics i didàctics –derivats de les necessitats tècniques de l'enginyeria, la construcció, l'astronomia, la cartografia, la navegació, el comerç, la tributació, etc.–, i inspirades en programes d'innovació cultural i educativa. En els segles següents, les noves edicions, en incloure nombrosos teoremes d’Arquímedes, són veritables manuals acadèmics que adapten el text euclidià per a la formació científica i tècnica dels professionals de la construcció i l'enginyeria, la qual cosa propicia una progressiva escolarització del text mitjançant comentaris, recensions, extractes, resums, compendis i exposicions, on ja intervenen els algorismes de l'Àlgebra, la Geometria Analítica i el Càlcul Infinitesimal que transformen el rostre de l'educació matemàtica.
En suma, l'obra euclidiana, pel seu gran valor pedagògic i el seu caràcter de síntesi rigorosa, ha tingut una àmplia i fructífera dimensió escolar; ha estat un cos de doctrina de lectura obligada per a tots els estudiants de Geometria durant vint-i-tres segles; ha inspirat tots els manuals escolars de Matemàtiques, alguns dels quals han copiat literalment definicions i teoremes que encara avui segueixen sent la base de tota disciplina matemàtica en l'ensenyament secundari, determinant l'ordre lògic seqüencial i, per tant, l'ordenació curricular dels diversos capítols dels llibres de text de la Matemàtica elemental. A més, l'obra d’Euclides es va convertir en model paradigmàtic del raonar deductiu, on la il·lació dels diversos arguments remuntant-se als principis admesos donen una coherència general al sistema, imposant-se l'exactitud i el rigor apodíctic de la demostració per sobre de la intuïció, l'opinió i el joc retòric de la persuasió.
Concloent, com a cim del pensament matemàtic grec i principal vehicle de transmissió del coneixement geomètric essencial, més enllà del seu extraordinari interès científic, històric i cultural, construïts sota la línia pragmàtica de l’idealisme platònic, Els Elements d’Euclides tenen en la Història de l’Educació un incommensurable valor didàctic.
NOTES
1. Per aquesta raó, i perquè la major part dels artífexs dels teoremes euclidians eren membres de l’Acadèmia de Plató, la geometria d’Euclides s’hauria d’anomenar «geometria platònica».
2. Per això l’obra d’Euclides s’anomena La Bíblia de les Matemàtiques.
3. J. Mellon. The Face of Lincoln, Viking, New York, 1979, pàg. 67.
4. American Mathematical Montly, vol.99, núm. 8, 10/1992, pàg. 773.
5. B. Russell. Autobiography. Little, Brown & Co, Boston, 1951, pàg. 37.
6. Aquesta edició té un gran valor històric, sentimental i quasi mitològic, en intervenir-hi la seva cèlebre filla Hipatia d’Alexandria, una de les figures més romàntiques de la Història de la Ciència.
7. En llengua catalana, Joan Vaqué i Albert Presas estan treballant en una edició que confiem vegi la llum en la col·lecció Bernat Metge de clàssics greco-llatins.
BIBLIOGRAFIA BÀSICA
BOYER, C. Historia de las Matemáticas. Madrid: Alianza Universidad Textos, 1986, capítol VII.
DOMÈNECH, J.: Elements d'Euclides en Català (internet). <http://www.euclides.org/menu/elements_cat/indexeuclides.htm>
DUNHAM, W. Viaje a través de los genios. Madrid: Pirámide, 1992, capítols 2, 3.
EUCLIDES: Elementos. Madrid: Gredos. Madrid, 1996 (traducció i notes de M. L. Puertas).
GONZÁLEZ URBANEJA, P. M.; VAQUÉ, J.: Mètode d’Arquímedes sobre els teoremes mecànics. Barcelona: Fundació Bernat Metge, 1997 (edició crítica en català d'aquesta obra d'Arquímedes.)
GONZÁLEZ URBANEJA, P. M. «Matemáticas y matemáticos en el mundo griego», dins El legado de las Matemáticas: de Euclides a Newton. Sevilla: Universitat de Sevilla, 2000, capítol 1, pàgs. 24-75.
GONZÁLEZ URBANEJA, P. M. Pitágoras, el filósofo del número. Madrid: Nivola, 2001, capítols 1, 4, 6, 7.
GONZÁLEZ URBANEJA, P. M. «La aparición de los inconmensurables», dins Mundo Científico, [Barcelona], núm. 220 (2001), pàgs. 56-63.
GONZÁLEZ URBANEJA, P. M. Els Elements d'Euclides. Barcelona: Departament d'Educació, Generalitat de Catalunya. Llicències d'Estudis. Curs 2003/04
<http://www.xtec.es/sgfp/llicencies/200304/memories/elementseuclides3.pdf>
GONZÁLEZ URBANEJA, P.M. Els sòlids pitagricoplatònics. Geometria, Art, Mística i Filosofia, dins Biaix, núm 21, pàgs. 10-24, (12/03). <http://www.xtec.es/entitats/biaix/biaix21/Revista%20BIAIX%2021.pdf>.
GONZÁLEZ URBANEJA, P. M. Platón y la Academia de Atenas. Madrid: Nivola, 2006, capítols 2, 9, 11, 13, 15, 16, 17 i 18.
HEAT, T. L. A History of Greek Mathematics. Nova York: Dover, 1981, volum 1, capítol XI.
HEAT, T. L. The thirteen books of The Elements. 3 vols. Nova York: Dover, 1956.
LEVI. B. Leyendo a Euclides. Buenos Aires: Zorzal, 2001.
LORIA, G. Histoire des sciences mathématiques dans l’antiquité hellénique. París: Gauthier-Villars, París, 1929, capítol 3.
MILLÁN, A. Euclides, la fuerza del razonamiento matemático. Madrid: Nivola, 2004.
VVEGA, L. «Las versiones de los Elementos como signos de los tiempos» , dins Contra los titanes de la rutina. Madrid: CSIC, 1994, pàgs. 36-50.
VERA, F.« Los Elementos de Euclides», dins Científicos griegos. Madrid: Aguilar, 1970.
Pedro Miguel González Urbaneja és professor de l'IES Sant Josep de Calassanç i membre de la Societat Catalana d'Història de la Ciència i de la Tècnica
Tags:
matemàtica, clàssics, euclides
Comparteix
